Question

【题目】（1）已知四边形是边长为的正方形，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．

①如图1，点在边上，相交于点，当互相平分时，求的值；

②如图2，点在边上，相交于点，当时，求的值．

（2）如图，在小正方形的边长为1的正方形网格中，点在格点上．

①线段的长是_____________；

②在网格中用无刻度的直尺，以为边画矩形，使这个矩形的面积是．

要求：保留画图痕迹，并说明点的位置如何找到的．

Answer 1

【答案】（1）①2；②4；（2）①；②见详解．

【解析】

（1）①根据互相平分得四边形APCQ为平行四边形，进而可得AP＝CQ，列出方程求解即可；

②根据结合∠ABC＝∠C＝90°及AB＝BC可证得△ABP≌△BCQ，进而可得BP＝CQ，列出方程求解即可；

（2）①利用勾股定理计算即可；

②先利用勾股定理求得AB的长为，再结合矩形的面积是求得矩形另一组边长为，也就是AB的长的一半，进而可以先作出以AB为边的正方形ABEF，再找到BE、AF的中点C、D，连接CD，则矩形ABCD即为所求．

解：（1）①如图1，由题意得：AP＝2t，DQ＝t，

∵正方形ABCD的边长为6，

∴CQ＝CD－DQ＝6－t，

∵PQ与AC互相平分，

∴四边形APCQ为平行四边形，

∴AP＝CQ，

∵AP＝2t，CQ＝6－t，

∴2t＝6－t，

解得：t＝2（符合题意）；

②如图2，由题意得：BP＝2t－6，CQ＝6－t，

∵AP⊥BQ，

∴∠AHB＝90°，

∴∠PAB＋∠ABH＝90°，

∵在正方形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC

∴∠QBC＋∠ABH＝90°，

∴∠QBC＝∠PAB，

∴在△QBC和△PAB中，

∴△QBC≌△PAB（AAS），

∴CQ＝BP，

∴2t－6＝6－t，

解得：t＝4（符合题意）；

（2）①如图，由题意得：AP＝3，BP＝2，

∴在Rt△ABP中，；

②如图，矩形ABCD即为所求，

理由如下：由图结合①可知：在正方形ABEF中，BE＝AB＝AF＝，∠ABC＝90°，

∵在△AGD和△FHD中，

∴△AGD≌△FHD（AAS），

∴AD＝FD＝AF＝，

同理可得BC＝CE＝BE＝，

∴AD＝BC，

∵在正方形ABEF中，AF∥BE即AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD为矩形，

∵S矩形ABCD＝AB·AD＝，

∴矩形ABCD即为所求．