Question

【题目】如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．

（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；

（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；

（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．

Answer 1

【答案】（1）100°；（2）∠F＝∠E+50°，理由见解析；（3）∠P＝25°

【解析】

（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=20°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=20°，∠MEF=∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°，于是得到结论；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+50）°，根据角平分线的定义得到∠PEF=∠BEF=x°，∠EFG=∠EFD=（x+25）°，根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到结论．

解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，

∴EM∥AB∥FN，

∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，

又∵AB∥CD，AB∥FN，

∴CD∥FN，

∴∠D+∠DFN＝180°，

又∵∠D＝110°，

∴∠DFN＝70°，

∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，

∴∠EFD＝∠MEF+70°

∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°；

故答案为：100°；

（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，

∴EM∥AB∥FN，

∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，

又∵AB∥CD，AB∥FN，

∴CD∥FN，

∴∠D+∠DFN＝180°，

又∵∠D＝110°，

∴∠DFN＝70°，

∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，

∴∠EFD＝∠MEF+70°，

∴∠EFD＝∠BEF+50°；

（3）如图2，过点F作FH∥EP，

由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°，

设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+50）°，

∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，

∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+25）°，

∵FH∥EP，

∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，

∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°，

∴∠P＝25°．