Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图所示．

在Rt△ADE中，点O为AE的中心，

∴DO=AO=EO= AE，

∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．

又∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAO，

∴∠ADO=∠CAD，

∴AC∥DO．

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．

又∵OD为半径，

∴BC是⊙O的切线

（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，

∴AB=5．

设OD=r，则BO=5﹣r．

∵OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得：r= ，

∴BE=AB﹣AE=5﹣ =

【解析】（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由OD∥AC可得出 = ，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出BE的长度．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的判定与性质，需要了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．