Question

【题目】如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，F是BE的中点，延长AF与CB的延长线相交于点P．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）如图2，若AD⊥BC于点D，连接CF与AD相交于点G．求证：AG=GD；

（3）在（2）的条件下，若FG=BF，且⊙O的半径长为，求BD的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

（3）BD的长度为

【解析】试题分析：（1）根据切线判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，从而可以确定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中点，就可得出结论BF=EF．（2）要证PA是 O的切线，就是要证明∠PAO=90°连接AO，AB，根据第1的结论和BE是 O的切线和直角三角形的等量代换，就可得出结论．（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的长度．

试题解析：（1）证明：连结．

是⊙O的直径， ．

在中，因为是斜边的中点，

． ．

又， ．

是⊙O的切线， ．

，

是⊙O的切线．

（2）证明：

又， ．

易证， ．

．

∵BF=EF

．

（3）解：过点作于点．

四边形是矩形， ．

由（1），∵BE=AF=FE．

．

，

．

，

，即．

∵四边形是矩形，

∴FH∥BC

∴．

∵，

∴CF=3FG.

在Rt△FBC中，

∵CF=3FG，BF=FG，

∴CF2=BF2+BC2∴(3FG)2=FG2+(6)2

解得FG=3(负值舍去)

∴FG=3.