Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点分别在轴正半轴和轴正半轴上，且，点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿x轴正半轴方向运动．

（1）求点的坐标．

（2）连接设三角形的面积为，点的运动时间为，请用含的式子表示并直接写出的取值范围．

（3）当点在上运动时，将线段沿轴正方向平移，使点与点重合，点的对应点为点，连接，将线段沿轴正方向平移，使点与点重合，点的对应点为点，取的中点是否存在的值，使三角形的面积等于三角形的面积？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）存在的值，使三角形的面积等于三角形的面积，秒或秒

【解析】

（1）根据绝对值的非负性、平方的非负性得到关于、的方程组，解方程组即可得解；

（2）根据题意可知需对点的位置进行分类讨论，分别画出相应的图形，然后再分别表示出其相应的关系式以及自变量的取值范围即可；

（3）在（2）的基础上对点的位置进行分类讨论，分别按要求画出相应的图形，然后分别使，从而得到关于的方程，解方程即可得解．

解：（1）∵

∴

∴

∴，；

（2）∵，

∴，

①当点在线段上时，如图：

∵点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿轴正半轴方向运动

∴点运动了秒时，

∴

∴

∵点在线段上

∴

∴当点在线段上时，；

②当点在线段延长线上时，如图：

∵点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿轴正半轴方向运动

∴点运动了秒时，

∴

∴

∵点在线段延长线上

∴

∴当点在线段延长线上时，

∴综上所述，；

（3）∵，，

∴

∵点是的中点

∴

∵过点作于点

∴，

∴

①当点在线段上时，，如图：

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴秒；

②当点在线段延长线上时，，如图：

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴秒；

∴综上所述，存在的值，使三角形的面积等于三角形的面积，秒或秒．