Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BC上一点，且tan∠BAE=，点F是CD的中点，连接AE、BF将△ABE着点E按顺时针方向旋转，使点B落在BF上的B1处位置处，点A经过旋转落在A1点位置处，连接AA1交BF于点N．

（1）求证：∠BFC=∠A1 B1F；

（2）说明点N是AA1的中点；

（3）求AN的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析； （2）详见解析；（3）．

【解析】试题分析：（1）已知四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质可得AB∥CD，即可得∠ABF=∠CFB，由旋转的性质可得EB=EB1，根据等腰三角形的性质可得∠EBB1=∠EB1B，再由∠ABC=∠EB1A1=90°，即可得∠ABF+∠EBB′=90°，∠BB1E+∠A1B1F=90°，所以∠A1B1F=∠ABF=∠BFC；（2）作EP⊥BF，A1Q⊥BF，取BC的中点M，连接AB1，B1M，可得点P是BB1的中点，根据三角形的中位线定理可得EP∥MB1，即可得MB1⊥BB1；易证△BPE∽△BCF，即可求得BP=，EP=，从而求得BB1= ，再证明A，B1，M三点共线，即可得AB1=，再证明△AB1N≌△A1QN，即可得AN=A1N，从而证得N是AA1的中点；（3）由△AB1N≌△A1QN，可得B1N=B1Q=，根据勾股定理即可求得AN=．

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠ABF=∠CFB，

∵EB=EB1，

∴∠EBB1=∠EB1B，

∵∠ABC=∠EB1A1=90°，

∴∠ABF+∠EBB′=90°，∠BB1E+∠A1B1F=90°，

∴∠A1B1F=∠ABF=∠BFC．

（2）作EP⊥BF，A1Q⊥BF，取BC的中点M，连接AB1，B1M，

∴点P是BB1的中点，

∵E是BM中点，

∴EP∥MB1，

∴MB1⊥BB1，

由旋转得，△BPE∽△BCF，

∴BP=，EP=，

∵PB1=PB=，

∴BB1=，

∵sin∠FBC===，

∴∠AB1B=90°，

∴A，B1，M三点共线，

∴AB1=，

∵∠B1A1Q=∠BB1E=∠FBC，

∴△B1QA1∽△FCB，

∴B1Q=，A1Q==AB1，

∴△AB1N≌△A1QN，

∴AN=A1N，

∴N是AA1的中点．

（3）∵△AB1N≌△A1QN，

∴B1N=B1Q=，

根据勾股定理得，AN==．