Question

【题目】已知如图，矩形OABC放置于平面直角坐标系中，点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（6，3），点D是边BC上的一动点，连接OD，作点C关于直线OD的对称点C′．

（1）若点C、C′、A在一直线上时，求点D的坐标；

（2）若点C′到矩形两对边所在直线距离之比为1：2时，求点C′的坐标；

（3）若连接BC′，则线段BC′的长度范围是　 　．

Answer 1

【答案】（1）D（，3）；（2）点C′的坐标为（，2）或（2，1）；（3）3﹣3≤BC′≤6．

【解析】试题分析：（1）根据轴对称的性质和矩形的性质易证∠DCE=∠COD，再求得CD的长，即可得点D的坐标；（2）分点C′到矩形OA边与BC边的距离之比为1：2和点C′到矩形BC边与OA边的距离之比为2：1两种情况求点C′的坐标即可；（3）由OC′=OC，可知点C′在以O为圆心，以3为半径的弧上（如图）．当点D与点C或点B重合时，BC′有最大值．当点C′在直线OB上时，BC′有最小值．由此即可求得BC的取值范围.

试题解析：

（1）如下图所示：

∵点C、C′、A在一直线上，

∴tan∠BCC′==．

∵点C与点C′关于OD对称，

∴OD⊥CC′．

∴∠DCE+∠CDE=90°．

∵∠CDE+∠COD=90°．

∴∠DCE=∠COD．

∴tan∠COD==，

∴CD=OC=．

∴D（，3）．

（2）设点C′的坐标为（x，y）．

由轴对称的性质可知OC=OC′=3．

由两点间的距离公式可知x2+y2=9．

点C′到矩形两对边所在直线距离之比为1：2时，

C′的纵坐标为2或1．

将y=2代入x2+y2=9得：x2+4=9，解得：x=或x=﹣（舍去），

∴C′（，2）．

将y=1代入x2+y2=9得：x2+1=9，解得：x=2或x=﹣2（舍去），

∴C′（2，1）．

综上所述，点C′的坐标为（，2）或（2，1）．

（3）∵OC′=OC，

∴点C′在以O为圆心，以3为半径的弧上．

如下图所示：

当点D与点C或点B重合时，BC′有最大值，最大值=BD=6．

当点C′在直线OB上时，BC′有最小值．

在△ABO中，依据勾股定理可知OB==3．

∵OC′=OC=3，

∴BC′的最小值=BO﹣OC′=3﹣3．

∴线段BC′的长度范围是3﹣3≤BC′≤6．

故答案为：3﹣3≤BC′≤6．