Question

【题目】问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF　 EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）

②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．

问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）＞；（2）EF2＝BE2+CF2．理由见解析；（3）EF＝BE+CF．理由见解析.

【解析】

（1）如图1中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE=CH，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（2）结论：EF2=BE2+CF2．如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
（3）结论：EF=BE+CF．利用旋转法构造全等三角形即可解决问题．

解：（1）如图1中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．

∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，

∴△BDE≌△CDH（SAS），

∴BE＝CH，

∵DE＝DH，FD⊥EH，

∴FE＝FH，

在△FCH中，∵CH+CF＞FH，

∴BE+CF＞EF．

故答案为＞．

（2）结论：EF2＝BE2+CF2．

理由：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．

∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，

∴△BDE≌△CDH（SAS），

∴BE＝CH，∠B＝∠DCH，

∵DE＝DH，FD⊥EH，

∴FE＝FH，

∵∠A＝90°，

∴∠B+∠ACB＝90°，

∴∠ACB+∠DCH＝90°，

∴∠FCH＝90°，

∴FH2＝CH2+CF2，

∴EF2＝BE2+CF2．

（3）如图3中，结论：EF＝BE+CF．

理由：∵DB＝DC，∠B+∠ACD＝180°，

∴可以将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DCH，A，C，H共线．

∵∠BDC＝130°，∠EDF＝65°，

∴∠CDH+∠CDF＝∠BDE+∠CDF＝65°，

∴∠FDE＝∠FDH，

∵DF＝DF，DE＝DH，

∴△FDE≌△FDH（SAS），

∴EF＝FH，

∵FH＝CF+CH＝CF+BE，

∴EF＝BE+CF．