Question

【题目】在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．

（1）求∠D的度数；
（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．
①如图1，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；
②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB2+AC2=100=BC2，

∴∠BAC=90°，

∵△DEF∽△ABC，

∴∠D=∠BAC=90°

（2）

解：①四边形AGDH为正方形，

理由：如图1，

延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，

∵△DEF∽△ABC，

∴∠B=∠C，

∵EF∥BC，

∴∠E=∠EMC，

∴∠B=∠EMC，

∴AB∥DE，

同理：DF∥AC，

∴四边形AGDH为平行四边形，

∵∠D=90°，

∴四边形AGDH为矩形，

∵GH⊥AD，

∴四边形AGDH为正方形；

②当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，

理由：如图2，

点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，

∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，

∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，

只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，

如图3，

点D在BC上，

∵DG∥AC，

∴△BGD∽△BAC，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴AH=8﹣ GA，

S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8﹣ AG）=﹣ AG2+8AG，

当AG=﹣ =3时，S矩形AGDH最大，此时，DG=AH=4，

即：当AG=3，AH=4时，S矩形AGDH最大，

在Rt△BGD中，BD=5，

∴DC=BC﹣BD=5，

即：点D为BC的中点，

∵AD= BC=5，

∴PA=AD=5，

延长PA，∵EF∥BC，QP⊥EF，

∴QP⊥BC，

∴PQ是EF，BC之间的距离，

∴D是EF的距离为PQ的长，

在△ABC中， AB×AC= BC×AQ

∴AQ=4.8

∵△DEF∽△ABC，

∴k=

【解析】（1）先判断△ABC是直角三角形，即可；（2）①先判断AB∥DE，DF∥AC，得到平行四边形，再判断出是正方形；
②先判断面积最大时点D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8﹣ GA，得到S矩形AGDH=﹣ AG2+8AG，确定极值，AG=3时，面积最大，最后求k得值．此题是相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，正方形的判定和性质，极值的确定，勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线，
【考点精析】利用平行线的性质和相似三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．