Question

【题目】如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．
（1）求证：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1， =1.4， =1.7）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠ADO=∠BAD，

∴∠ADO=∠CDA，

∴DA平分∠CDO

（2）解：如图：

连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

又∵CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，

∴ = = ，

又∵∠AOB=180°，

∴∠DOB=60°，

∵OD=OB，

∴△DOB是等边三角形，

∴BD=OB= AB=6，

∵ = ，

∴AC=BD=6，

∵BE切⊙O于B，

∴BE⊥AB，

∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°，

∵CD∥AB，

∴BE⊥CE，

∴DE= BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6× =3 ，

∴ 的长= =2π，

∴图中阴影部分周长之和为 =4π+9+3 =4×3.1+9+3×1.7=26.5．

【解析】（1）只要证明∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO即可．（2）首先证明 = = ，再证明∠DOB=60°得△BOD是等边三角形，由此即可解决问题．本题考查切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．