Question

【题目】如图，BN是等腰Rt△ABC的外角∠CBM内部的一条射线，∠ABC=90°，AB=CB，点C关于BN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD,AD分别交射线BN于点E，P．

(1)依题意补全图形；

(2)若∠CBN=，求∠BDA的大小（用含的式子表示）；

(3)用等式表示线段PB，PA与PE之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）补图见解析；（2）45°－；（3）PA=（PB+PE）..

【解析】

此题涉及的知识点是对称点的画法，角大小的求解，数量关系的证明，解答时第一问根据已知条件直接画图，连线；第二问根据对称图形性质可以算出角的大小；第三问证明两三角形全等就可以得到线段之间的关系。

解：(1) 如图所示：

(2)∵∠ABC=90°

∴∠MBC=∠ABC=90°

∵点C关于BN的对称点为D

∴BC=BD，∠CBN=∠DBN=

∵AB=BC

∴AB=BD

∴∠BAD=∠ADB==45°－

(3)猜想：

证明：

过点B作BQ⊥BE交AD于Q

∵∠BPA=∠DBN+∠ADB，∠ADB=45°－，∠DBN=

∴∠BPA=∠DPE=45°

∵点C关于BN的对称点为D

∴BE⊥CD

∴PD=PE，PQ=PB，

∵BQ⊥BE，∠BPA=45°

∴∠BPA=∠BQP=45°

∴∠AQB=∠DPB=135°

又∵AB=BD，∠BAD=∠ADB

∴△AQB≌△BPD（AAS）

∴AQ=PD

∵PA=AQ+PQ

∴