【题目】如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），DP交AC于点Q．

（1）求证：△APQ∽△CDQ；

（2）当PD⊥AC时，求线段PA的长度；

（3）当点P在线段AC的垂直平分线上时，求sin∠CPB的值．

参考答案：

【答案】（1）见解析；（2）AP=；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定定理证明即可；

（2）根据垂直的定义、相似三角形的性质列出比例式，计算即可；

（3）连接PC，根据线段垂直平分线的性质得到PC=PA，设PA=x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，

∴∠QAP=∠QCD，∠QPA=∠QDC，

∴△APQ∽△CDQ；

（2）解：∵PD⊥AC，

∴∠QDC+∠QCD=90°，又∠QDC+∠QDA=90°，

∴∠QCD=∠QDA，又∠DAP=∠CDA=90°，

∴△DAP∽△CDA，

∴=，即=，

解得，AP=；

（3）解：连接PC，

∵点P在线段AC的垂直平分线上，

∴PC=PA，

设PA=x，则PC=x，PB=10﹣x，

由勾股定理得，PC2=PB2+BC2，即x2=（10﹣x）2+25，

解得，x=，

∴PC=PA=，

∴sin∠CPB==．

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