Question

【题目】如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，

(1)求证：AM=BN；

(2)写出点M在如图2所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系，并给出证明；

(3)点M在图3所示位置时，直接写出线段AB、BM、BN三者之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BN=AB+BM；证明见解析；（3）BN=BM-AB.

【解析】

(1) 据等边三角形的性质就可以得出∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，进而就可以得出△APM≌△PBN，得出结论；

(2) 由（1）中的方法证得△APM≌△BPN，得出图2中，BN=AB+BM；

(3) 由（1）中的方法证得△APM≌△PBN，得出图3中，BN=BM-AB；

（1）如图1示：

证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，

∴∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，

∴∠BPA-∠MPB=∠MPN-∠MPB，

∴∠APM=∠BPN．

在△APM和△PBN中

，

∴△APM≌△BPN（SAS），

∴AM=BN.

（2） BN=AB+BM；

如图2示：

∵△PAB和△PMN是等边三角形，

∴∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，

∴∠BPA+∠MPB=∠MPN+∠MPB，

∴∠APM=∠BPN．

在△APM和△PBN中 ，

∴△APM≌△BPN（SAS），

∴AM=BN，

∴BN=AM=AB+BM，即BN=AB+BM.

（3）BN=BM-AB.

如图3示：

∵△PAB和△PMN是等边三角形，

∴∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，

∴∠MPN-∠APN =∠BPA-∠APN

∴∠APM=∠BPN．

在△APM和△PBN中 ，

∴△APM≌△BPN（SAS），

∴AM=BN，

∴BM =AB+AM= AB+ BN，即BN= BM- AB.