Question

【题目】已知A(m,n),且满足m-2+(n-2)2=0,过A作AB⊥y轴,垂足为B.

(1)求A点坐标；

(2)如图1,分别以AB,AO为边作等边△ABC和△AOD,试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系,并说明理由；

(3)如图2,过A作AE⊥x轴,垂足为E,点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点 (不与端点重合),满足∠FBG=45°,设OF=a,AG=b,FG=c,试探究的值是 否为定值?如果是,直接写出此定值:如果不是,请举例说明.

Answer 1

【答案】（1）A（2，2）；（2）AC＝CD，AC⊥CD，理由见解析；（3）定值为0，

【解析】试题分析：（1）根据非负数的性质可得m、n的值；

（2）连接OC，由AB=BO知∠BAO=∠BOA=45°，由△ABC，△OAD为等边三角形知∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°、OA=OD，继而由∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC得∠DAC=∠BAO=45°，根据OB=CB=2、∠OBC=30°知∠BOC=75°，∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°，∠DOC=∠AOC=30°，证△OAC≌△ODC得AC=CD，再根据∠CAD=∠CDA=45°知∠ACD=90°，从而得AC⊥CD；

（3）在x轴负半轴取点M，使得OM=AG=b，连接BG，先证△BAG≌△BOM得∠OBM=∠ABG、BM=BG，结合∠FBG=45°知∠ABG+∠OBF=45°，从而得∠OBM+∠OBF=45°，∠MBF=∠GBF，再证△MBF≌△GBF得MF=FG，即a+b=c，代入原式可得答案．

试题解析：（1）由题得m=2，n=2，

∴A（2，2）；

（2）如图1，连结OC，

由（1）得AB=BO=2，

∴△ABO为等腰直角三角形，

∴∠BAO=∠BOA=45°，

∵△ABC，△OAD为等边三角形，

∴∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°，OA=OD

∴∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC

即∠DAC=∠BAO=45°

在△OBC中，OB=CB=2，∠OBC=30°，

∴∠BOC=75°，

∴∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°，

∴∠DOC=∠AOC=30°，

在△OAC和△ODC中，

∵，

∴△OAC≌△ODC，

∴AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA=45°，

∴∠ACD=90°，

∴AC⊥CD；

（3）如图，在x轴负半轴取点M，使得OM=AG=b，连接BG，

在△BAG和△BOM中，

∵，

∴△BAG≌△BOM

∴∠OBM=∠ABG，BM=BG

又∠FBG=45°

∴∠ABG+∠OBF=45°

∴∠OBM+∠OBF=45°

∴∠MBF=∠GBF

在△MBF和△GBF中，

∵，

∴△MBF≌△GBF

∴MF=FG

∴a+b=c代入原式=0．