Question

【题目】已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；

（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．

①求证：∠PDQ=90°；

②求△PDQ面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣1）2；（2）点C的坐标为（17，64）．（3）①证明见解析；②16.

【解析】（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；

（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得=，即==据此求得x0的值即可得；

（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PMQN=DMDN=16，即=，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；

②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=DGMN列出关于k的等式求解可得．

（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，

解得：a=，

所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；

（2）由（1）知点D坐标为（1，0），

设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），

则y0=（x0﹣1）2，

如图1，过点C作CF⊥x轴，

∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，

∵∠BDC=90°，

∴∠BDO+∠CDF=90°，

∴∠BDO=∠DCF，

∴△BDO∽△DCF，

∴=，

∴==，

解得：x0=17，此时y0=64，

∴点C的坐标为（17，64）．

（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），

由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，

∴，

∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，

如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，

DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，

∴PMQN=DMDN=16，

∴=，

又∠PMD=∠DNQ=90°，

∴△PMD∽△DNQ，

∴∠MPD=∠NDQ，

而∠MPD+∠MDP=90°，

∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；

②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），

所以DG=4，

∴S△PDQ=DGMN=×4×|x1﹣x2|=2=8，

∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16．