Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．

（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；

（2）求BF的长；

（3）求折痕AF长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5cm；（3）5cm．

【解析】分析：（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；

（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算即可；

（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．

详解：（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，

∴AE=AB=10，AE2=102=100，

又∵AD2+DE2=82+62=100，

∴AD2+DE2=AE2，

∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

（2）设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，FC=BC-BF=8-x，

在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，

即42+（8-x）2=x2，

解得x=5，

故BF=5cm；

（3）在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，

∵AB=10cm，BF=5cm，

∴AF==5cm．