Question

【题目】如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，∠ACB=∠ABD，求此时∠ABC的度数．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）不变，2：1，见解析；（3）30°

【解析】

（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD=∠ABN即可；
（2）不变．可以证明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN；
（3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解决问题；

（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°．
（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，即∠APB：∠ADB=2：1．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC= ∠ABN=30°．