Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．

（1）求证：BD=BF；

（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析; （2）.

【解析】试题分析：（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE⊥AC，再由BC⊥AC，得到OE∥BC，根据平行线的性质可得∠OED=∠F，又因OD= OE，根据等腰三角形的性质可得∠ODE=∠OED ，所以∠ODE=∠F ，即可得BD=BF；（2）设⊙O的半径为r，由OE∥BC可得△AOE∽△ABC ，根据相似三角形的性质求得半径r的长，在Rt△AOE中即可求得sin∠A的值.

试题解析：

（1）证明：如图，连接OE

∵AC切⊙O于E

∴OE⊥AC

又∵∠ACB=90°

∴OE∥BC

∴∠OED=∠F

又OD= OE

∴∠ODE=∠OED

∴∠ODE=∠F

∴BD=BF

（2）解：设⊙O的半径为r

由OE∥BC

∴△AOE∽△ABC

∴即

解得：r=4，r=-3（舍）

在Rt△AOE中，∴sin∠A=