Question

【题目】如图，△ABM与△CDM是两个全等的等边三角形，MA⊥MD．有下列四个结论：（1）∠MBC=25°；（2）∠ADC+∠ABC=180°；（3）直线MB垂直平分线段CD；（4）四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数为（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】(1)∵△ABM≌△CDM，△ABM、△CDM都是等边三角形，

∴∠ABM=∠AMB=∠BAM=∠CMD=∠CDM=∠DCM=60°，AB=BM=AM=CD=CM=DM，

又∵MA⊥MD，

∴∠AMD=90°，

∴∠BMC=360°60°6090°=150°，

又∵BM=CM，

∴∠MBC=∠MCB=15°；

(2)∵AM⊥DM，

∴∠AMD=90°，

又∵AM=DM，

∴∠MDA=∠MAD=45°,

∴∠ADC=45°+60°=105°，

∠ABC=60°+15°=75°，

∴∠ADC+∠ABC=180°；

(3)延长BM交CD于N，

∵∠NMC是△MBC的外角，

∴∠NMC=15°+15°=30°，

∴BM所在的直线是△CDM的角平分线，

又∵CM=DM，

∴BM所在的直线垂直平分CD；

(4)根据(2)同理可求∠DAB=105°,∠BCD=75°，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∴AD∥BC，

又∵AB=CD，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

∴四边形ABCD是轴对称图形。

故(2)(3)(4)正确。

故选C.