Question

【题目】如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.

（Ⅰ）请写出AF与BE的数量关系与位置关系分别是什么，并证明.

（Ⅱ）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）AF=BE，AF⊥BE. （Ⅱ）结论成立.

【解析】试题分析：（1）根据SAS易证△ADE≌△DCF，即可证明AF与BE的数量关系是AF=BE，位置关系是AF⊥BE； （2）成立，证明△ADE≌△DCF，然后证明△ABE≌△ADF即可证得BE=AF，然后根据三角形内角和定理证明∠AMB=90°，从而结论得证.

试题解析：

（1）AF=BE，AF⊥BE. 证明参考（2）

（2）结论成立.

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.

在△EAD和△FDC中，

∴△EAD≌△FDC.

∴∠EAD=∠FDC.

∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF.

∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.

∵∠DAF +∠BAF=90°，

∴∠ABE +∠BAF=90°，

∴AF⊥BE.