Question

【题目】如图，在□ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=AB．

（1）作∠BCD的角平分线CF，交AD于F点，交BE于G点；（尺规作图，保留痕迹，不写画法）

（2）在（1）的条件下，

①求∠BGC的度数；

②设AB=a，BC=b，则线段EF= （用含a,b的式子表示）；

③若AB=10，CF=12，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①90°；②；③

【解析】

（1）以点D为圆心，DC为半径作圆交AD于点F，连接CF交BE于点G即为所作；

（2）①根据角平分线的定义和平行线的性质，就可求出；

②根据角平分线的定义和平行线的性质可得出DC=DF，再因为AB=AE即可求出；

③根据平行线+角平分线可推出等腰三角形，进而可证得四边形AHCF是平行四边形，因为∠BGC=90°可得∠AMB=90°，所以点M是BE的中点也是AH的中点，再根据勾股定理可求出BM的值，即可求出答案．

（1）如下图所示：

此图即为所作．

（2）①∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，

∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠BCD，

∴∠CBE+∠BCF=90°，

∴∠BGC=180°-90°=90°

②∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠DCF

∵AD∥BC，

∴∠BCF=∠DFC，

∴∠DFC=∠DCF，

∴DF=DC，

∵AB=a，BC=b，

∴EF=，

③作∠BAD的平分线交BC于点H，交BE于点M，如下图所示：

∵AH平分∠BAD，

∴∠BAH=∠DAH,

∵AD∥BC，

∴∠BAH=∠AHB，

∴AB=BH，△ABH是等腰三角形，

∵DC=DF,

∴BH=DF

∴HC=BC-BH=AD-DF=AF，

∵AD∥BC，

∴四边形AHCF是平行四边形，

∴AH∥CF，

∴∠BMH=∠BGC=90°，

∴点M是AH的中点，

∵AB=AE，

∴△ABE是等腰三角形，

∴点M是BE的中点，

∵AB=10，CF=12，

∴AH=CF=10，

∴AM=6，

在△AMB中，由勾股定理得：

,

∴BE=16．