Question

【题目】如图，图1中ΔABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF.

图1 图2

(1)求证：BE=EF；

(2)若将DE从中位线的位置向上平移，使点D、E分别在线段AB、AC上(点E与点A不重合)，其他条件不变，如图2，则(1)题中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)结论仍然成立；(3)

【解析】

(1)利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论;

(2)由中位线的性质、平行线的性质,等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明

(1)证明：∵ΔABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=，AB=BC=AC

∵DE是中位线，

∴E是AC的中点，

∴BE平分∠ABC，AE=EC

∴∠EBC=∠ABC=

∵AE=CF，

∴CE=CF，

∴∠CEF=∠F

∵∠CEF+∠F=∠ACB=，

∴∠F=，

∴∠EBC=∠F，

∴BE=EF

(2)结论仍然成立.

∵DE是由中位线平移所得；

∴DE//BC，

∴∠ADE=∠ABC=，∠AED=∠ACB=，

∴ΔADE是等边三角形，

∴DE=AD=AE，

∵AB=AC，

∴BD=CE，

∵AE=CF，

∴DE=CF

∵∠BDE=-∠ADE=，∠FCE=-∠ACB=，

∴∠FCE=∠EDB，

∴ΔBDE≌ΔECF，

∴BE=EF