Question

【题目】如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：由题意可知，OM=2 ，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON= OM= ×2 = ．
如答图①所示，

设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0 ， 动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn ， 连接B0Bn
∵AO⊥AB0 ， AN⊥ABn ， ∴∠OAC=∠B0ABn ，
又∵AB0=AOtan30°，ABn=ANtan30°，∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，
∴B0Bn=ONtan30°= × =2 ．
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，

当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi ， 连接AP，ABi ， B0Bi
∵AO⊥AB0 ， AP⊥ABi ， ∴∠OAP=∠B0ABi ，
又∵AB0=AOtan30°，ABi=APtan30°，∴AB0：AO=ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn ，
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn ， 其长度为 ．
所以答案是： ．