【题目】如图1，二次函数y=ax2+bx+3 经过点A（3，0），G（﹣1，0）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点M时抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴交x轴于点P，过点E（0， ）作x轴的平行线，交AB于点F，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】
（1）解：将A、G点坐标代入函数解析式，得

，

解得 ，

抛物线的解析式为y=﹣ x2+2 x+3


（2）解：作ME⊥x轴交AB于E点，如图1

，

当x=0时，y=3 ，即B点坐标为（0，3 ）

直线AB的解析式为y=﹣ x+3 ，

设M（n，﹣ n2+2 n+3 ），E（n，﹣ n+3 ），

ME═﹣ n2+2 n+3 ﹣（﹣ n+3 ）=﹣ n2+5 n，

S△ABM= MExA= （﹣ n2+5 n）×3=﹣ （n﹣ ）2+ ，

当n= 时，△ABM面积的最大值是


（3）解：存在；理由如下：

OE= ，AP=2，OP=1，BE=3 ﹣ = ，

当y= 时，﹣ x+3 = ，解得x= ，即EF=

将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3），

∵OB⊥EF，

∴点B'在直线EF上，

∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO﹣PO长度，

∴C点坐标为（﹣ ， ﹣1），

过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，

则△FEQ∽△B'EC，

由 = = = ，

可得Q的坐标为（﹣ ，﹣ ）；

根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（﹣ ， ）也符合条件．


【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得ME的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．（3）即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．

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