Question

【题目】如图1，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上，且∠ADC＝45°.

(1)求∠BCD的度数；

(2)将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′，当点D′恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C′C并延长交AB于点E.

①求∠C′CB的度数；

②求证：△C′BD′≌△CAE.

Answer 1

【答案】（1）15° （2）①75° ②见解析

【解析】【试题分析】

（1）AC＝BC，∠A＝30°，根据等边对等角得，∠B＝∠A＝30°.

因为∠ADC＝45°，根据外角的性质得，∠BCD＝∠ADC－∠B＝15°.

(2)①由旋转的性质得，得BC＝BC′＝AC，∠C′BD′＝∠CBD＝∠A＝30°.

在等腰三角形 中,根据的内角和定理得，∠CC′B＝∠C′CB＝75°.

②在 中，利用外角的性质得，∠CEB＝∠C′CB－∠CBA＝45°，

在中，∠ACE＝∠CEB－∠A＝15°.等量代换得，∠BC′D′＝∠BCD＝∠ACE.

在△C′BD′和△CAE中，

利用SAS判定得，△C′BD′≌△CAE．

【试题解析】

(1)∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠B＝∠A＝30°.

∵∠ADC＝45°，∴∠BCD＝∠ADC－∠B＝15°.

(2)①由旋转，得BC＝BC′＝AC，∠C′BD′＝∠CBD＝∠A＝30°.

∴∠CC′B＝∠C′CB＝75°.

②证明：∵∠CEB＝∠C′CB－∠CBA＝45°，

∴∠ACE＝∠CEB－∠A＝15°.

∴∠BC′D′＝∠BCD＝∠ACE.

在△C′BD′和△CAE中，

∴△C′BD′≌△CAE(ASA)．