Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．

（1）求抛物线所对应的二次函数的表达式．

（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围．

（3）是否存在P点，使∠PAC=∠BCO？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线为y=（x﹣1）2﹣；

（2）﹣4≤m≤0；

（3）存在，当点P坐标（﹣1，﹣）或（﹣3，）时，∠PAC=∠BCO．

【解析】

试题分析：（1）设抛物线为y=a（x﹣1）2﹣，把点（4，0）代入即可解决问题．

（2）如图1中，求出∠PAO=45°时点P的坐标，由此即可解决问题．

（3）存在．如图2中，∠P1AO=∠BCO，设AP1交y轴于E，理由相似三角形求出OE的长，再求出直线CE与抛物线的交点即可解决问题，根据对称性再求出P2坐标即可．

试题解析：（1）设抛物线为y=a（x﹣1）2﹣，

∵抛物线经过点（4，0），

∴0=9a﹣，

∴a=，

∴抛物线为y=（x﹣1）2﹣．

（2）∵y=（x﹣1）2﹣．

令x=0，则y=﹣4，∴点C坐标（0，﹣4），

令y=0，（x﹣1）2=9，解得x=﹣2或4，

∴点B坐标（﹣2，0），点A坐标（4，0）．

∴OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

如图1中，过点A作直线AP1⊥AC，交抛物线于P1，

∵直线AC为y=x﹣4，

∴直线AP1为y=﹣x+4，

由，解得或，

∴点P1坐标（﹣4，8），

∴当点P在P1与C之间时，∠PAO不大于45°，

∴﹣4≤m≤0．

（3）存在．

理由：如图2中，∠P1AO=∠BCO，设AP1交y轴于E，

∵△BCO∽△EAO，

∴，

∴，

∴EO=2，

∴点E坐标（0，2），

∴直线AE为y=﹣x+2，

由解得或，

∴p1（﹣3，）．

根据对称性∠P2AO=∠BCO时，设AP2交y轴于F，则点F坐标（0，﹣2），

∴直线AF为y=x﹣2，

由解得或，

∴点P2（﹣1，﹣）．

∴当点P坐标（﹣1，﹣）或（﹣3，）时，∠PAC=∠BCO．