Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，探究PB与PQ所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：
过P点作PE⊥DC于E点，PF⊥BC于F点，
根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE=PF，
再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）PB=PQ
（2）证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C为正方形对角线AC上的点，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．

【解析】解：（1）结论：PB=PQ，

理由：过P作PF⊥BC，PE⊥CD，

∵P，C为正方形对角线AC上的点，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠QPF+∠QPE=90°，

∴∠BPF=∠QPE，

在△PEQ和△PFB中，

，

∴Rt△PQE≌Rt△PBF，

∴PB=PQ；

所以答案是PB=PQ．

【考点精析】本题主要考查了角平分线的性质定理和正方形的性质的相关知识点，需要掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．