Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4）和C（6，0）两点，点D的坐标为（4，0），连接AD，AB，BC，点E从点A出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；
（3）设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长．

Answer 1

【答案】
（1）解：将B（4，4）和C（6，0）代入抛物线y=ax2+bx+4得：

，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+4

（2）解：如图1，由题意得：AE= t，

∵A（0，4），B（4，4），

∴AB⊥y轴，且AB∥x轴，

∵OA=OD=4，

∴△AOD是等腰直角三角形，

∴∠ADO=∠BAD=45°，

∴△AFE是等腰直角三角形，

∴AF=EF=t，

∵△EFG是等腰直角三角形，

∴G（t+ t，4﹣ t），

即：点G（ ，4﹣ t），

将点G（ ，4﹣ t）代入到抛物线得：

4﹣ t=﹣ （ ）2+ +4，

解得：t1=0（舍），t2= ，

答：当t= 时，点G落在抛物线上

（3）解：如图2，连接BD，当G在BD上时，

=4，

t= ，

①当0≤t≤ 时，如图3，

过G作GH⊥x轴于H，延长HG交AB于M，则GM⊥AB，

∵B（4，4），D（4，0），

∴BD⊥x轴，

∴S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，

4= （4﹣ +4）（4﹣ ）+ ×4×（6﹣4）﹣ （6﹣ ）（4﹣ t），

4= t，

解得：t= ，

∴AM= = × = ，

GM= t= × = ，

在Rt△AGM中，由勾股定理得：AG= = = ；

∴当t= 时，此时点G运动的路径长为 ；

②当G在BC上时，如图4，

tan∠C= =2，

∴GH=2HC，

∴4﹣ t=2（6﹣ ），

t= ，

当 ＜t≤ 时，如图5，

S△BCG=S△BDC﹣S梯形BDHG﹣S△GHC，

4= ×4×2﹣ （4﹣ +4）（ t﹣4）﹣ × ，

t= （不在此范围内，不符合题意），

③当E与D重合时，F与B重合，如图6，

t= =4，

∴G（6，2），

∴AG= =2 ，

∴S△BCG=S梯形BDCG﹣S△BDC= ×2×（4+2）﹣ ×2×4=2，

∴当t＞4时，如图7，

由题意得：DE=t﹣4，

∴OE=t﹣4+4=t，

∴OH=OE+EH=t+2，

EH=2，GM=GH=2，

BM=t+2﹣4=t﹣2，

CH=t+2﹣6=t﹣4，

过G作MH⊥x轴，交x轴于H，交直线AB于M，

∴S△BGC=S梯形BCHM﹣S△BGM﹣S△GCH，

4= （t﹣4+t﹣2）×4﹣ ×2×（t﹣2）﹣ ×2×（t﹣4），

t=5，

当t=5时，点G的运动路径分为两部分组成：

i）点G从A运动到D时，运动路径为：如图6中的AG长，即为2 ；

ii）点G从D点继续在射线DC上运动1秒时，路径为1；

所以当t=5时，此时点G运动的路径长度为1+2 ．

综上所述：当t1= 秒，此时路径长度为 ，

当t2=5秒，此时路径长度为1+2 ．

【解析】（1）利用待定系数法把B、C坐标代入解析式即可;（2）用t 的代数式表示出G的横纵坐标，代入抛物线解析式即可；（3）t=时，E到D，因此时间t 分为当①0≤t≤ ， ② ＜t ③t=4 4)t＞4;5).t=5时，点G的运动路径分为两部分组成,综合起来t=或t=5,分别求出对应的路径长.