Question

【题目】 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2 ，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接OC，

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCD+∠ADC=180°，

∴AD∥OC，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

则AC平分∠DAB

（2）解：

法1：如图2，连接OE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵∠B=60°，

∴∠1=∠3=30°，

在Rt△ACD中，CD=2 ，∠1=30°，

∴AC=2CD=4 ，

在Rt△ABC中，AC=4 ，∠CAB=30°，

∴AB= = =8，

∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，

∴△AOE是等边三角形，

∴AE=OA= AB=4；

法2：如图3，连接CE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∠B=60°，

∴∠1=∠3=30°，

在Rt△ACD中，CD=2 ，

∴AD= = =6，

∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，

∴∠B+∠AEC=180°，

又∵∠DEC=∠B=60°，

在Rt△CDE中，CD=2 ，

∴DE= = =2，

∴AE=AD﹣DE=4．

【解析】（1）连接OC，由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出∠1=∠2，再由OA=OC，利用等边对等角得到∠2=∠3，等量代换可得出∠1=∠3，即AC为角平分线；（2）法1：由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在直角三角形ABC中，根据cos30°及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，进而得出半径OE的长，由∠EAO为60°，及OE=OA，得到三角形AEO为等边三角形，可得出AE=OA=OE，即可确定出AE的长；法2：连接EC，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ADC中，由CD及tan30°，利用锐角三角函数定义求出AD的长，由∠DEC为圆内接四边形ABCE的外角，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到∠DEC=∠B，由∠B的度数求出∠DEC的度数为60°，在直角三角形DEC中，由tan60°及DC的长，求出DE的长，最后由AD﹣ED即可求出AE的长．
【考点精析】通过灵活运用圆周角定理和切线的性质定理，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径即可以解答此题．