Question

【题目】已知，正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段AE上，过点F的直线，分别交AB、CD于点M、N．

（1）如图，求证：；

（2）如图，当点F为AE中点时，连接正方形的对角线BD，MN与BD交于点G，连接BF，求证：；

（3）如图，在（2）的条件下，若，，求BM的长度.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）由正方形的性质得出∠B=90°，得出∠BAE+∠AEB=90°，由垂直的性质得出∠BAE+∠AMN=90°，即可得出结论；

（2）连接AG、EG、CG，证明△ABG≌△CBG得出AG=CG，∠GAB=∠GCB，证出EG=CG，由等腰三角形的性质得出∠GEC=∠GCE，证出∠AGE=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出BF=AE，FG=AE，即可得出结论；

（3）过G作交AD于点P，交BC于点Q，证明DP=PG=2，连接ME，证明MN是AE的垂直平分线，得，，再证明得，得，进而得，中，由勾股定理得，代入相关数据，从而得出结论.

（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵MN⊥AE于F，

∴∠BAE+∠AMN=90°，

∴∠AEB=∠AMN；

（2）证明：连接AG、EG、CG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABG=∠CBG=45°，∠ABE=90°，

在△ABG和△CBG中，

，

∴△ABG≌△CBG（SAS），

∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，

∵MN⊥AE于F，F为AE中点，

∴AG=EG，

∴EG=CG，

∴∠GEC=∠GCE，

∴∠GAB=∠GEC，

∵∠GEB+∠GEC=180°，

∴∠GEB+∠GAB=180°，

∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，

∴∠AGE=90°，

在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，

∴BF=AE，FG=AE，

∴BF=FG；

（3）过G作交AD于点P，交BC于点Q，则 ，，

中，， ，

∴ ，

∴

∵，

∴ ，

∴ 即

连接ME ∵于F，F为AE的中点,

∴MN是AE的垂直平分线

∴，

由（2）知 ，，

∴，

又，

∴，

∴ ，

∴ ，

又，

∴

∴

∴

∵

∴四边形PDCQ为矩形

∴

设

∵E是BC中点

∴

∴

∴ 即

∴

∴

设

∴

中，由勾股定理得

∴ 解得

∴