Question

【题目】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P是边AC上的一动点，PH⊥AB，垂足为H．
（1）求⊙O的半径的长及线段AD的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

【答案】解：（1）连接AO、DO．设⊙O的半径为r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==4，
则⊙O的半径r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切线，
∴AF=AD；
∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，
即AD=3；
（2）点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即
∴y=﹣x+4，
即y与x的函数关系式是y=﹣x+4．

【解析】（1）由勾股定理求AC的长度；设⊙O的半径为r，则r=（AC+BC﹣AB）；根据圆的切线定理、正方形的判定定理知四边形CEOF是正方形；然后由正方形的性质证得CF=OF=1，则由图中线段间的和差关系即可求得AD的长度；
（2）点P在线段AC上时，通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知， ， 将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式即可．
【考点精析】通过灵活运用三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心即可以解答此题．