Question

【题目】在平面直角坐标系中，A（a，0），C（0，c）且满足：，长方形ABCO在坐标系中（如图1），点O为坐标系的原点．

（1）求点B的坐标．

（2）如图2，若点M从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动（不超过点O），点N从原点O出发，以1个单位/秒的速度向下运动（不超过点C），设M、N两点同时出发，在它们运动的过程中，四边形MBNO的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围．

（3）如图3，E为x轴负半轴上一点，且∠CBE＝∠CEB，F是x轴正半轴上一动点，∠ECF的平分线CD交BE的延长线于点D，在点F运动的过程中，请探究∠CFE与∠D的数量关系，并说明理由

Answer 1

【答案】（1）B（-6，-3）；（2）四边形MBNO的面积与t无关，在运动过程中面积不变，为定值9；（3），理由详见解析.

【解析】

（1）根据题意可得a=-6，c=-3，则可求A点，C点，B点坐标；

（2）设M、N同时出发的时间为t，则S四边形MBNO=S长方形OABC-S△ABM-S△BCN=18-×2t×3-×6×（3-t）=9．与时间无关．即面积是定值，其值为9；

（3）根据三角形内角和定理和三角形外角等于不相邻的两个内角的和，可求∠CFE与∠D的数量关系.

解：解：（1）∵0,

∴a=-6，c=-3

∴A（-6，0），C（0，-3）

∵四边形OABC是长方形

∴AO∥BC，AB∥OC，AB=OC=3，AO=BC=6

∴B（-6，-3）；

（2）四边形MBNO的面积不变．

设M、N同时出发的时间为t，

S四边形MBNO=S长方形OABC-S△ABM-S△BCN=18-×2t×3-×6×（3-t）=9，与时间无关．即面积是定值，其值为9；

（3）∠CFE=2∠D．

理由如下：如图，

∵∠CBE=∠CEB，

∴∠ECB=180°-2∠BEC，

∵CD平分∠ECF，

∴∠DCE=∠DCF，

∵AF∥BC，

∴∠CFE=180°-∠DCF-∠DCE-∠BCE=180°-2∠DCE-（180°-2∠BEC），

∴∠CFE=2∠BEC-2∠DCE，

∵∠BEC=∠D+∠DCE，

∴∠CFE=2（∠D+∠DCE）-2∠DCE，

∴∠CFE=2∠D.