Question

【题目】如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E．

（1）DE=_____；

（2）∠CDE的正切值为_____．

Answer 1

【答案】 5, 3

【解析】分析：（1）先利用等边三角形的性质AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6,然后判断△ADE为等边三角形得到DE的长;(2) 作EH⊥CD于H, 设DH=x，则CH=4﹣x,利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣(4-x),解得x=,再计算出EH的长，然后利用正切的定义求解.

详解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，

∴AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，

∴△ADE为等边三角形，

∴DE=AD=5；

（2）作EH⊥CD于H，如图，

设DH=x，则CH=4﹣x，

在Rt△EDH中，EH2=DE2﹣DH2=52﹣x2，

在Rt△ECH中，EH2=CE2﹣CH2=62﹣（4﹣x）2，

∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，

∴EH==，

∴tan∠EDH==3，

即∠CDE的正切值为3．

故答案为5，3．