Question

【题目】在ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于F点．

（1）如图1，∠ABC=90°，求证：F为CB′的中点；

（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB′的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：过点B′作B′G∥CD交AD于G点，只需证三角形全等；

想法2：连接BB′交AD于H点，只需证H为BB′的中点；

想法3：连接BB′，BF，只需证∠B′BC=90°．

…

请你参考上面的想法，证明F为CB′的中点．（一种方法即可）

（3）如图3，当∠ABC=135°时，AB′，CD的延长线相交于点E，求的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）证明：根据已知条件得到ABCD为矩形，AB=CD，根据矩形的性质得到∠D=∠BAD=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）方法1：如图2，过点B′作B′G∥CD交AD于点G，由轴对称的性质得到∠1=∠2，AB=AB′，根据平行线的性质得到∠2=∠3，∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠4=∠D，根据全等三角形的性质即可得到结论；方法2：连接BB′交直线AD于H点，根据线段垂直平分线的性质得到B′H=HB，由平行线分线段成比例定理得到结论；方法3：连接BB′，BF，根据轴对称的性质得到AD是线段B′B的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到B′F=FB，得到∠1=∠2，由平行线的性质得到∠B′BC=90°，根据余角的性质得到∠3=∠4，于是得到结论；
（3）取B′E的中点G，连结GF，由（2）得，F为CB′的中点，根据平行线的性质得到∠BAD=180°-∠ABC=45°，由对称性的性质得到∠EAD=∠BAD=45°，根据平行线的性质得到∠GFA=∠FAB=45°，根据三角函数的定义即可得到结论．

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，

∴□ABCD为矩形，AB=CD，

∴∠D=∠BAD=90°，

∵B，B′关于AD对称，

∴∠B′AD=∠BAD=90°，AB=AB′，

∴∠B′AD=∠D，

∵∠AFB′=∠CFD，

在△AFB′与△CFD中，，

∴△AFB′≌△CFD（AAS），

∴FB′=FC，

∴F是CB′的中点；

（2）证明：

方法1：如图2，过点B′作B′G∥CD交AD于点G，

∵B，B′关于AD对称，

∴∠1=∠2，AB=AB′，

∵B′G∥CD，AB∥CD，

∴B′G∥AB．

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴B′A=B′G，

∵AB=CD，AB=AB′，

∴B′G=CD，

∵B′G∥CD，

∴∠4=∠D，

∵∠B′FG=∠CFD，

在△B′FG与△CFD中，

∴△B′FG≌△CFD（AAS），

∴FB′=FC，

∴F是CB′的中点；

方法2：连接BB′交直线AD于H点，

∵B，B′关于AD对称，

∴AD是线段B′B的垂直平分线，

∴B′H=HB，

∵AD∥BC，

∴=1，

∴FB′=FC．

∴F是CB′的中点；

方法3：连接BB′，BF，

∵B，B′关于AD对称，

∴AD是线段B′B的垂直平分线，

∴B′F=FB，

∴∠1=∠2，

∵AD∥BC，

∴B′B⊥BC，

∴∠B′BC=90°，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴FB=FC，

∴B′F=FB=FC，

∴F是CB′的中点；

（3）解：取B′E的中点G，连结GF，

∵由（2）得，F为CB′的中点，

∴FG∥CE，FG=CE，

∵∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC，

∴∠BAD=180°﹣∠ABC=45°，

∴由对称性，∠EAD=∠BAD=45°，

∵FG∥CE，AB∥CD，

∴FG∥AB，

∴∠GFA=∠FAB=45°，

∴∠FGA=90°，GA=GF，

∴FG=sin∠EADAF=AF，

∴由①，②可得．