Question

【题目】已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B
（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当 ＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；

当m≠0时，

∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，

∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，

∴1﹣4m≠0，

∴m≠ ，

∴m的取值范围为m≠0且m≠ ；

（2）

证明：∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，

∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，

抛物线过定点说明在这一点y与m无关，

显然当x2﹣2x﹣3=0时，y与m无关，

解得：x=3或x=﹣1，

当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；

当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），

∵P不在坐标轴上，

∴P（3，4）；

（3）

解：|AB|=|xA﹣xB|= = = = =| |=| ﹣4|，

∵ ＜m≤8，

∴ ≤ ＜4，

∴﹣ ≤ ﹣4＜0，

∴0＜| ﹣4|≤ ，

∴|AB|最大时，| ﹣4|= ，

解得：m=8，或m= （舍去），

∴当m=8时，|AB|有最大值 ，

此时△ABP的面积最大，没有最小值，

则面积最大为： |AB|yP= × ×4= ．

【解析】（1）根据题意得出△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，得出1﹣4m≠0，解不等式即可；（2）y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，故只要x2﹣2x﹣3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=﹣1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）；（3）由|AB|=|xA﹣xB|得出|AB|=| ﹣4|，由已知条件得出 ≤ ＜4，得出0＜| ﹣4|≤ ，因此|AB|最大时，| |= ，解方程得出m=8，或m= （舍去），即可得出结果．
【考点精析】认真审题，首先需要了解抛物线与坐标轴的交点(一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．)．