Question

【题目】如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在 上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证： AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2 ， AM2 ， BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ = ，

∴∠ACB=∠ADB=45°，

∵∠ABD=45°，

∴∠BAD=90°，

∴BD是△ABD外接圆的直径；

（2）在CD的延长线上截取DE=BC，

连接EA，

∵∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∵∠ADE+∠ADC=180°，

∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC与△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE=90°，

∵ =

∴∠ACD=∠ABD=45°，

∴△CAE是等腰直角三角形，

∴ AC=CE，

∴ AC=CD+DE=CD+BC；

（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，

由对称性可知：∠AMB=∠ACB=45°，

∴∠FMA=45°，

∴△AMF是等腰直角三角形，

∴AM=AF，MF= AM，

∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，

∴∠FAB=∠MAD，

在△ABF与△ADM中，

，

∴△ABF≌△ADM（SAS），

∴BF=DM，

在Rt△BMF中，

∵BM2+MF2=BF2，

∴BM2+2AM2=DM2．

【解析】（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD=45°，所以需要证明∠ADB=45°；（2）在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论；（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF= AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM2 ， AM2 ， BM2三者之间的数量关系．