Question

【题目】如图，在 中，，F是 AB 延长线上一点，， 于点 D，交 BC 于点E．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若点 是 边的中点，求 的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，作 ，交 于点G，若 ，．求 的面积

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）67.5°;（3）.

【解析】

（1）先证明三角形全等，利用全等性质即可解出此题

（2）连接CF，得出等腰Rt△BCF，由此得出角度关系，根据D又是中点DF⊥AC可以得出△AFC为等腰三角形，则DF就为角平分线，因此可以得出角度关系，联合求解即可.

（3）先证出△BCD≌△BFG，再证出△ABC≌△EBF，从而得出BEG和BEF的关系即可.

（1）证明：

∵FD⊥AC

∴∠ADF=90°

∵∠ABC=90°

∴∠ADF=∠ABC=∠EBF

∵∠C+∠A=∠F+∠A=90°

∴∠C=∠F

在△ABC和△EBF中

∴△ABC≌△EBF

∴AC=EF

（2）

连接CF

∵点D是AC中点

∴AD=CD

∵FD⊥AC

∴∠ADF=∠CDF=90°

在△ADF和△CDF中

∴△ADF≌△CDF

∴∠AFD=∠CFD

∵BF=BC，BC⊥BF

∴△BCF是等腰直角三角形

∴∠BFC=∠BCF=∠AFD+∠CFD=45°

∴∠AFD=∠CFD=22.5°

∴∠A=90°－∠AFD=90°－22.5°=67.5°

（3）∵BG⊥BD

∴∠DBG=90°

∴∠DBC+∠EBG=∠FBG+∠EBG=90°

∴∠DBC=∠FBG

在△BCD和△BFG中

∴△BCD≌△BFG

∴CD=FG

∵CD=AD，AC=EF

∴FG=EG

∵△ABC≌△EBF

∴AB=BE=1

∴BF=BC=BE+CE=1+

∴