Question

【题目】如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣x+c与x轴相交于A、B两点（B点在A点的左侧），与y轴相交于C点，且AB=10．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图2，D点在x轴上，且在A点的右侧，E点为抛物线上第二象限内的点，连接ED交抛物线于第二象限内的另外一点F，点E到y轴的距离与点F到y轴的距离之比为3：1，已知tan∠BDE=，求点E的坐标；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G由B出发，沿x轴负方向运动，连接EG，点H在线段EG上，连接DH，∠EDH=∠EGB，过点E作EK⊥DH，与抛物线相应点E，若EK=EG，求点K的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）E（﹣3，8）；（3）K(-11，-8).

【解析】试题分析：（1）先根据函数关系式求出对称轴，由AB=10，，求出点的坐标，代入函数关系式求出的值，即可解答；
（2）作EM⊥x轴，垂足为点M，FN⊥x轴，垂足为点N，FT⊥EM，垂足为点T.得到四边形FTMN为矩形，由, ,得到∠BDE=∠EFT，所以设设 得到 再由解得 代入函数关系式即可解答；
（3）作EM⊥x轴，垂足为点M，过点K作KR⊥ED，与ED相交于点R，与x轴相交于点Q.再证明∴△EGM≌△EKR，求出 直线RQ的解析式为： 设点K的坐标为代入抛物线解析式可得x=11,，即可解答．

试题解析：(1)由

可得对称轴为x=4

∵AB=10，

∴点A的坐标为(1,0)，

∴c=3

∴抛物线的解析式为

(2)如图2，作EM⊥x轴，垂足为点M，FN⊥x轴，垂足为点N，FT⊥EM，垂足为点T.

∴四边形FTMN为矩形，

∴, ,

∴∠BDE=∠EFT，

设

∵过点E.F，

则

解得m=0(舍去)或m=1，

当m=1时，3m=3，

∴E(3,8).

(3)如图3，作EM⊥x轴，垂足为点M，过点K作KR⊥ED，与ED相交于点R，与x轴相交于点Q.

∴∠KER=∠GEM，

在△EGM和△EKR中，

∴△EGM≌△EKR，

∴EM=ER=8，

∴ED=10，

∴DR=2，

可求

∴直线RQ的解析式为： 设点K的坐标为，代入抛物线解析式可得x=11,

∴K(11,8).