Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx﹣ x2（a∈R）．
（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个相异极值点x1、x2 ， 求证： + ＞2ae．

Answer 1

【答案】
（1）解：x＞0，恒有f（x）≤x成立，

∴xlnx﹣ x2≤x恒成立，∴ ≥ ，

设g（x）= ，∴g′（x）= ，

当g′（x）＞0时，即0＜x＜e2，函数g（x）单调递增，

当g′（x）＜0时，即x＞e2，函数g（x）单调递减，

∴g（x）max=g（e2）= ，

∴ ≥ ，∴a≥ ，

∴实数a的取值范围为[ ，+∞）

（2）解：g′（x）=f（x）′﹣1=lnx﹣ax，函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，

即g′（x）=lnx﹣ax=0有两个不同的实根，

当a≤0时，g′（x）单调递增，g′（x）=0不可能有两个不同的实根；

当a＞0时，设h（x）=lnx﹣ax，

∴h′（x）= ，

若0＜x＜ 时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

若x＞ 时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

∴h（ ）=﹣lna﹣1＞0，

∴0＜a＜ ．

不妨设x2＞x1＞0，

∵g′（x1）=g′（x2）=0，

∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），

先证 + ＞2，即证 ＜ ，

即证ln ＜ = （ ﹣ ）

令 =t，即证lnt＜ （t﹣ ）

设φ（t）=lnt﹣ （t﹣ ），则φ′（t）=﹣ ＜0，

函数φ（t）在（1，+∞）上单调递减，

∴φ（t）＜φ（1）=0，

∴ + ＞2，

又∵0＜a＜ ，∴ae＜1，

∴ + ＞2ae

【解析】（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，（2）函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2 ， 即导函数g′（x）有两个不同的实数根x1、x2 ， 对a进行分类讨论，令 =t，构造函数φ（t），利用函数φ（t）的单调性证明不等式．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．