Question

【题目】如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．

（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若 =k（k为大于 的常数），直接用含k的代数式表示 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

证法一：∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵四边形ABEF为平行四边形，

∴AB=EF，AB∥EF，

∴CD=EF，CD∥EF，

∴∠CDM=∠FEM，

在△CDM和△FEM中

，

∴△CDM≌△FEM，

∴DM=EM，

即点M是DE的中点；

证法二：∵四边形ABCD为菱形，

∴DH=BH，

∵四边形ABEF为平行四边形，

∴AF∥BE，

∵HM∥BE，

∴ = =1，

∴DM=EM，

即点M是DE的中点；

（2）

解：∵△CDM≌△FEM，

∴CM=FM，

设AD=a，CM=b，

∵∠ABE=135°，

∴∠BAF=45°，

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠NAF=45°，

∴四边形ABCD为正方形，

∴AC= AD= a，

∵AB∥EF，

∴∠AFN=∠BAF=45°，

∴△ANF为等腰直角三角形，

∴NF= AF= （ a+b+b）=a+ b，

∴NE=NF+EF=a+ b+a=2a+ b，

∴ = = =

（3）

解：∵ = = + =k，

∴ =k﹣ ，

∴ = ，

∴ = = +1= +1=

【解析】（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性质得AB=EF，AB∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FEM，则可根据“AAS”判断△CDM≌△FEM，所以DM=EM；
证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段成比例定理得到 = =1，所以DM=EM；（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD为正方形得到AC= a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+ b，则NE=NF+EF=2a+ b，然后计算 的值；（3）由于 = = + =k，则 = ，然后表示出 = = +1，再把 = 代入计算即可．