Question

【题目】某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

时间x（天）	1≤x＜9	9≤x＜15	x≥15
售价（元/斤）	第1次降价后的价格	第2次降价后的价格
销量（斤）	80﹣3x	120﹣x
储存和损耗费用（元）	40+3x	3x2﹣64x+400

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：设该种水果每次降价的百分率是x，

10（1﹣x）2=8.1，

x=10%或x=190%（舍去），

答：该种水果每次降价的百分率是10%

（2）解：当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，

∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，

∵﹣17.7＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=1时，y有最大值，

y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），

当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，

∴y=（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，

∵﹣3＜0，

∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，

当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，

∴当x=10时，y有最大值，

y大=380（元），

综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：y= ，

第10天时销售利润最大

（3）解：设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，

由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），

252.5≤105（4﹣a）﹣115，

a≤0.5，

答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元

【解析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价﹣进价）×销量﹣费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论．