Question

【题目】（问题背景）

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；

（简单应用）

（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；

（问题探究）

（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．

（拓展延伸）

（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）；

②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=②∠P=

【解析】

（1）根据三角形内角和定理即可证明；

（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；

（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．

（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．

②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．

（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．

在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．

∵∠AEB=∠CED，

∴∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，

∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，

∴∠P=36°．

（3）∠P=26°，理由是：如图3：

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．

∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，

∴∠P+∠1=∠B+∠4．

∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），

∴2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．

（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，

∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．

∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，

∵∠C=α，∠B=β，

∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，

∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），

∴2α+β=3∠P

∴∠P=．

故答案为：∠P=．

②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．

∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，

∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，

∴∠P=．

故答案为：∠P=．