Question

【题目】若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．

（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；

（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）“带线”L的表达式为y=2x2+4x﹣4；（2）m=2，n=﹣2；（3）点P的坐标为（， ）．

【解析】试题分析：

（1）由“路线l”的表达式为：y=2x-4可得，“路线l”与y轴交于点（0，-4）；把x=-1代入y=2x-4可得y=-6，由此可得“带线L”的顶点坐标为（-1，-6），结合“带线L”过点（0，-4）即可求得“带线L”的解析式；

（2）由y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(m-1)2-1可得“带线L”的顶点坐标为（1，-1），与y轴交于点（0，m-1），把这两个点的坐标代入y=nx+1即可求得m、n的值；

（3）如图，由（2）可知，若设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，﹣1），过点B作BC⊥y轴于点C，连接PA并延长交x轴于点D，由⊙P与“路线”l相切于点A可得PD⊥l于点A，由此证Rt△AOD≌Rt△BCA即可求得点D的坐标，结合点A的坐标即可求得AD的解析式为y=x+1，由AD的解析式和“带线L”的解析式组成方程组，解方程组即可求得点P的坐标.

试题解析：

（（1）∵“带线”L的顶点横坐标是﹣1，且它的“路线”l的表达式为y=2x﹣4

∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，

∴“带线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）．

设L的表达式为y=a（x+1）2﹣6，

∵“路线”y=2x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）

∴“带线”L也经过点（0，﹣4），将（0，﹣4）代入L的表达式，解得a=2

∴“带线”L的表达式为 y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；

（2）∵直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），

∴抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与y轴的交点坐标也为（0，1），解得m=2，

∴抛物线表达式为y=2x2﹣4x+1，其顶点坐标为（1，﹣1）

∴直线y=nx+1经过点（1，﹣1），解得n=﹣2；

（3）如图，设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，﹣1），过点B作BC⊥y轴于点C，

∴∠BCA=90°，

又∵点A 坐标为（0，1），

∴AO=1，BC=1，AC=2．

∵“路线”l是经过点A、B的直线

且⊙P与“路线”l相切于点A，连接PA交 x轴于点D，

∴PA⊥AB，

∴∠DAB=∠AOD=90°，

∴∠ADO+∠DAO=90°，

又∵∠DAO+∠BAC=90°，

∴∠ADO=∠BAC，

∴Rt△AOD≌Rt△BCA，

∴OD=AC=2，

∴D点坐标为（﹣2，0）

∴经过点D、A的直线表达式为y=x+1，

∵点P为直线y=x+1与抛物线L：y=2x2﹣4x+1的交点，

解方程组： 得 ： （即点A舍去）， ，

∴点P的坐标为．