Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】②③．

【解析】

试题分析：∵∠ADE=∠B=∠α，∠EAD=∠EAD，∴△ADE∽△ABD，而△ABD不一定相似△ACD，故①不正确；

过A作AF⊥BC于F，如图1，∵AB=AC，∴BF=FC，∵tan∠α=，∠B=∠α，∴tanB=，∴cosB=，∴，∴BF=AB=12，∴BC=24，∵DC=9，∴BD=BC－DC=15，∴BD=AC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠α=∠C，∵∠C+∠CAD=∠α+∠BDE，∴∠BDE=∠CAD，在△BED和△CDA中，∵∠BDE=∠CAD，BD=AC，∠B=∠C，∴△BDE≌△CAD，故②正确；

若△BDE为直角三角形，则有两种情况：（1）若∠BED=90°，∵∠BDE=∠CAD，∠B=∠C，∴△BDE∽△CAD，∴∠CDA=∠BED=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=BC=12；

（2）若∠BDE=90°，如图2，设BD=x，则DC=24－x，∵∠CAD=∠BDE=90°，∠B=∠C=∠α，∴cos∠C=cosB=，∴，解得：，∴若△BDE为直角三角形，则BD为12或，故③正确；

设BE=x，CD=y，∵△BDE∽△CAD，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴0＜BE≤，∴故④错误；

故答案为：②③．