Question

【题目】如图1，把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在E处，BE交AD于点F．
（1）求证：FB=FD；
（2）如图2，连接AE，求证：AE∥BD；
（3）如图3，延长BA，DE相交于点G，连接GF并延长交BD于点H，求证：GH垂直平分BD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△BCD≌△BED，

∴∠DBC=∠EBD，

又∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ADB=∠EBD，

∴BF=DF．

（2）证明：∵四边形ABCD是长方形，

∴AD=BC=BE，

又∵FB=FD，

∴FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF+∠AFE=2∠FBD+∠BFD=180°，

∴∠AEF=∠FBD，

∴AE∥BD；

（3）证明：∵四边形ABCD是长方形，

∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，

在△ABD与△EDB中，

∴△ABD≌△EDB（SSS），

∴∠ABD=∠EDB，

∴GB=GD，

又∵FB=FD，

∴GF是BD的垂直平分线，即GH垂直平分BD．

【解析】（1）由折叠的性质可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB=∠EBD，所以BF=DF；（2）根据长方形的性质可得和三角形内角和定理可得∠AEF=∠FBD，再根据平行线的判定即可求解；（3）先SSS证明△ABD≌△EDB，再根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质即可求解．