Question

【题目】如图，已知⊙的半径为， 为直径， 为弦． 与交于点，将 沿着翻折后，点与圆心重合，延长至，使，链接．

（）求的长．

（）求证： 是⊙的切线．

（）点为的中点，在延长线上有一动点，连接交于点，交于点（与、不重合）．则为一定值．请说明理由，并求出该定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），理由见解析.

【解析】试题分析：（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到GEGF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．

（）连接，

∵沿翻折后， 与重合，

∴，

∴，

∵，

∴．

（）∵， ，

∵， ，

∴，

∵， ，

∵，

∴，

∴是⊙的切线．

（）， 为定值，

连接， ， ，

∵点为的中点，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵为直径， ，

∴，

∴，

∴．