Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．
（1）求证：AE∥平面PCD；
（2）记平面PAB与平面PCD的交线为l，求二面角C﹣l﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E是BC的中点，

∴AD∥CE，且AD=CE，

∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥CD，

∵AE平面PCD，CD平面PCD，

∴AE∥平面PCD

（2）解：连结DE、BD，设AE∩BD于O，连结PO，

则四边形ABED是正方形，∴AE⊥BD，

∵PD=PB=2，O是BD中点，∴PO⊥BD，

则PO= = = ，

又OA= ，PA=2，∴PO2+OA2=PA2，

∴△POA是直角三角形，∴PO⊥AO，

∵BD∩AE=O，∴PO⊥平面ABCD，

以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

则P（0，0， ），A（﹣ ），B（0， ，0），E（ ），D（0，﹣ ，0），

∴ =（﹣ ）， =（0， ）， =（0， ）， =（2 ，0，0），

设 =（x，y，z）是平面PAB的法向量，

则 ，取x=1，得 ，

设 =（a，b，c）是平面PCD的法向量，

则 ，取b=1，得 =（0，1，﹣1），

cos＜ ＞= =0，

∴二面角C﹣l﹣B的余弦值为0．

【解析】（1）推导出四边形ADCE是平行四边形，从而AE∥CD，由此能证明AE∥平面PCD．（2）连结DE、BD，设AE∩BD于O，连结PO，推导出AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，从而PO⊥平面ABCD，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣l﹣B的余弦值．