Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点M，且BM=MC，过点D作BC的平行线，分别与AB、AC的延长线相交于点E、F．

（1）求证：EF与⊙O相切；

（2）若BC=2，MD=，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：

（1）由AD是⊙O的直径，BM=MC可得AD⊥BC，结合EF∥BC可得AD⊥EF，从而根据“切线的判定定理”可得EF与⊙O相切；

（2）如图1，连接OB，过点C作CN⊥EF于点N.先证△OBM是Rt△，由勾股定理建立方程解此OB的长，因此可得AD的长和AM的长；证△ABC∽△AEF，从而可解得EF的长；在Rt△AMC中，计算出tan∠AMC的值，从而可得∠MAC=30°，由此可得∠NCF=30°，结合CN=MD可在Rt△NCF中解得得NF的长，即可由EN=EF-NF得到EN的长，这样在Rt△ECN中即可由勾股定理解得CE的长了.

试题解析：

（1）∵AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点M，且BM=MC，

∴AD⊥BC，

∵EF∥BC，

∴AD⊥EF，

∴EF与⊙O相切；

（2）连接OB，

在△OBM中，BM2+OM2=OB，即（）+（OB﹣）=OB2，OB=2

∴OM=MD=，

∵BC∥EF，

∴△ABC∽△AEF

∴，

∴EF===，

∵tan∠CAM=，

∴∠CAM=30°，

作CN⊥EF，

∵AD⊥EF，

∴CN∥AD，

∴∠FCN=∠CAM=30°，

∵BC∥EF，

∴四边形MDNC是矩形，

∴CN=MD=，

∴NF=CNtan30°=×=，

∴EN=EF﹣NF=﹣=，

∴EC==．