Question

【题目】如图，点E在△ABC的外部，点D边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2，AE=AC，BC=DE．

（1）求证：AB=AD；

（2）若∠1=60°，判断△ABD的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ABD是等边三角形．理由见解析.

【解析】分析：

（1）由∠1=∠2结合∠AFE=∠DFC可得∠E=∠C，这样结合AE=AC，BC=DE即可证得△ABC≌△ADE，由此即可得到AB=AD；

（2）由∠1=∠2=60°可得∠BDE=120°，由△ABC≌△ADE可得∠B=∠ADE，AB=AD，进而可得∠B=∠ADB=∠ADE，由此即可得到∠ADB=∠BDE=60°，这样结合AB=AD即可得到△ABD是等边三角形.

详解：

（1）∵∠1+∠AFE+∠E=180°，∠2+∠CFD+∠C=180°，∠1=∠2，∠AFE=∠CFD，

∴∠E=∠C，

∵AC=AE，∠C=∠E，BC=DE，

∴△ABC≌△ADE，

∴AB=AD．

（2）△ABD是等边三角形．理由如下：

∵∠1=∠2=60°，

∴∠BDE=180°﹣∠2=120°，

∵△ABC≌△ADE，

∴∠B=∠ADE，AB=AD，

∴∠B=∠ADB，

∴∠ADB=∠ADE，

∴∠ADB=∠BDE=60°，

∴△ABD是等边三角形．