Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，过点D作DE∥AB交圆O于点E

（1）证明点C在圆O上；
（2）求tan∠CDE的值；
（3）求圆心O到弦ED的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

连结CO．

∵AB=6，BC=8，∠B=90°，

∴AC=10．

又∵CD=24，AD=26，102+242=262，

∴△ACD是直角三角形，∠C=90°．

∵AD为⊙O的直径，

∴AO=OD，OC为Rt△ACD斜边上的中线，

∴OC= AD=r，

∴点C在圆O上；

（2）解：如图2，

延长BC、DE交于点F，∠BFD=90°．

∵∠BFD=90°，

∴∠CDE+∠FCD=90°，

又∵∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠FCD=90°，

∴∠CDE=∠ACB．

在Rt△ABC中，tan∠ACB= = ，

∴tan∠CDE=tan∠ACB= ；

（3）解：如图3，

连结AE，作OG⊥ED于点G，则OG∥AE，且OG= AE．

易证△ABC∽△CFD，

∴ = ，即 = ，

∴CF= ，

∴BF=BC+CF=8+ = ．

∵∠B=∠F=∠AED=90°，

∴四边形ABFE是矩形，

∴AE=BF= ，

∴OG= AE= ，

即圆心O到弦ED的距离为 ．

【解析】本题是圆的综合题，考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，余角的性质，锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．准确作出辅助线，利用数形结合是解题的关键．（1）如图1，连结CO．先由勾股定理求出AC=10，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，∠C=90°，那么OC为Rt△ACD斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC= AD=r，即点C在圆O上；（2）如图2，延长BC、DE交于点F，∠BFD=90°．根据同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，利用正切函数定义求出tan∠ACB= = ，则tan∠CDE=tan∠ACB= ；（3）如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，则OG∥AE，且OG= AE．易证△ABC∽△CFD，根据相似三角形对应边成比例求出CF= ，那么BF=BC+CF= ．再证明四边形ABFE是矩形，得出AE=BF= ，所以OG= AE= ．
【考点精析】通过灵活运用实数的运算，掌握先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，若没有括号，在同一级运算中，要从左到右进行运算即可以解答此题．